The Arithmetic of Elliptic Curves. (Graduate texts in mathematics, vol.106)

"The Arithmetic of Elliptic Curves" von Joseph H. Silverman ist ein umfassendes Werk, das sich mit der Theorie elliptischer Kurven aus einer arithmetischen Perspektive beschäftigt. Das Buch ist Teil der "Graduate Texts in Mathematics"-Reihe und richtet sich an fortgeschrittene Studenten und Forscher in der Mathematik. Das Buch beginnt mit einer Einführung in die grundlegenden Eigenschaften elliptischer Kurven und deren Darstellung in der Weierstraß-Gleichung. Es behandelt die algebraische Struktur dieser Kurven, einschließlich ihrer Gruppenstruktur und der Mordell-Weil-Theorie, die besagt, dass die rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve eine endlich erzeugte abelsche Gruppe bilden. Ein wesentlicher Schwerpunkt liegt auf den endlichen Feldern und der Reduktion von elliptischen Kurven modulo Primzahlen. Silverman diskutiert auch tiefgehende Themen wie die L-Funktionen von elliptischen Kurven, den Satz von Nagell-Lutz über ganzzahlige Punkte und die Theorie des Höhenpaares zur Untersuchung rationaler Punkte. Das Buch schließt mit fortgeschritteneren Themen wie komplexer Multiplikation und der Anwendung von elliptischen Kurven in Zahlentheorie und Kryptographie. Durch zahlreiche Beispiele und Übungen bietet es einen tiefen Einblick in sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der arithmetischen Geometrie.